Cálculo diferencial en varias variables, 660 ej.,

Descripción

Este libro acerca a sus lectores, de forma autónoma, a los dominios básicos del Cálculo infinitesimal. Su metodología se ajusta al modelo didáctico seguido en las clases presenciales en el marco del Espacio Europeo de Educación Superior, con el fin de que el profesor enseñe a aprender persiguiendo activamente tres fines: iluminar, entusiasmar e inspirar.

Los contenidos de la obra se distribuyen en diez capítulos donde se desarrollan los recursos fundamentales del Cálculo Infinitesimal. Cada capítulo contiene los recursos teóricos precisos expuestos en forma concisa pero completa, aclarando los conceptos clave con ejemplos concretos. De forma ajustada a la teoría se presenta una extensa colección de problemas totalmente resueltos y en forma comentada imitando siempre una clase presencial. Termina el capítulo con una colección de problemas propuestos resueltos al final del libro, paralela a la de los problemas resueltos para que el lector se ejercite y evalúe su progreso. Al final de cada capítulo aparece una lista de Cuestiones Test, cuyas respuestas correctas se recogen al final del libro.

El grado de dificultad de las cuestiones es variable. Las hay muy sencillas, mientras que otras deberían suponer un desafío para el lector. Las preguntas van ordenadas atendiendo tanto a su temática como al grado de dificultad desde las más sencillas a las de mayor dificultad. De este modo el lector, siguiendo el desarrollo de los ejercicios resueltos, no encontrará dificultades añadidas para resolver los que se proponen al final de cada capítulo.

Ventajas Competitivas

Cada uno de los capítulos consta de:
Resumen teórico breve y completo, al principio de cada tema: presenta, de modo sucinto, las definiciones, conceptos y resultados que el lector debe conocer para resolver las cuestiones que se propondrán a continuación.
Problemas resueltos que son ejercicios tipo test de respuesta única, seleccionados de forma cuidadosa y resueltos de forma detallada.
Cuestiones tipo test cuya solución se recoge al final del libro.

Conozca

Cómo reconocer las superficies cuadráticas a partir de la expresión general de segundo grado.
Manipulará comandos de algún paquete computacional para graficar superficies.
Cómo resolver problemas de optimización utilizando Multiplicadores de Lagrange.
Cómo aproximar los valores de una función alrededor de un punto dado por medio de la expansión de polinomios de Taylor de primero y segundo orden.
Cómo identificar al Jacobiano de una transformación como el factor de expansión o contracción de los elementos de área o volumen de una región.
Cómo Calcular la integral doble o triple sobre regiones, sencillas de graficar, por medio de integrales.
A Identificar la transformación adecuada y aplicar el cambio de variable para el cálculo de la integral de una función real de una o dos variables sobre alguna región con simetrías.

Desarrolle Sus Habilidades Y Capacidades Para

Utilizar los conceptos de función de variable real con dominio vectorial, derivadas parciales, derivadas direccionales en el planteamiento y solución de problemas.
Plantear y resolver un problema de optimización utilizando Multiplicadores de Lagrange.
Aplicar los conceptos y algoritmos del Cálculo de Varias Variables tales como integrales dobles.
Planteamiento y solución de problemas de física, ingeniería, matemáticas, química y otras disciplinas
Interpretar los resultados obtenidos en diferentes contextos.

Indice general
Prologo XI
1. Topología en los espacios euclídeos 1
1.1. Introduccion teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
El espacio R
n. Producto escalar, norma y distancia.
Ortogonalidad y angulo formado por dos vectores. Topologáa en R
n. Sucesiones en R
n
1.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Límites y continuidad de funciones de varias variables 23
2.1. Introduccion teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Campos escalares y vectoriales. Límite de una funcion. Funciones continuas. Teoremas del ´
punto fijo. Limite de una funcion según una curva. Limites reiterados
2.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Derivadas parciales 45
3.1. Introduccion teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Derivadas de funciones vectoriales
3.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Funciones diferenciables 61
4.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Funciones diferenciables. Funciones continuamente diferenciables. Gradiente de
una funcion real. Funciones vectoriales diferenciables ´
4.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5. Diferenciabilidad de funciones compuestas 85
5.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Regla de la cadena. Plano tangente a una superficie. Teorema del valor medio. Teorema
de los incrementos finitos
5.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
VIII Indice
6. El teorema de Taylor 107
6.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Derivadas de orden superior. Diferencial de orden superior. Aproximaciones polinomicas
de funciones. Teorema de Taylor
6.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7. Funciones homogeneas 133
7.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Funciones homogeneas. Teorema de Euler. Funciones homoteticas
7.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8. El teorema de la funcion implicita 151
8.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ´
Funciones definidas implicitamente. Teorema de la funcion implicita. Teorema de la
funcion inversa.
8.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9. Funciones convexas 177
9.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 ´
Formas cuadraticas. Signo de una forma cuadratica. Conjuntos convexos. Hiperplanos
soporte. Teoremas de separacion. Lema de Farkas-Minkowski. Funciones concavas y
convexas. Funciones cuasiconcavas y cuasiconvexas.
9.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10. Optimizacion sin restricciones ´ 203
10.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Extremos de una funcion. Condicion necesaria de primer orden. Condicion necesaria de
segundo orden. Condicion suficiente
10.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11. Optimizacion con restricciones de igualdad ´ 223
11.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 ´
Teorema de Lagrange. Condicion necesaria de segundo orden. Condicion suficiente fuerte. ´
Condicion suficiente debil. Teorema de la envolvente ´
11.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12. Optimizacion con restricciones de desigualdad ´ 259
12.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Indice IX
Extremos condicionados. Teorema de Kuhn-Tucker. Condicion suficiente.
Teorema de la envolvente.
12.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
13. Integracion multiple 291
13.1. Introduccion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Integrales dobles sobre rectangulos. Integrales dobles sobre recintos no rectangulares.
Cambio de variable. Integrales de funciones no acotadas. Integrales en recintos no acotados.
13.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Bibliografia 325
Respuestas correctas de los problemas propuestos 327