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Cálculo En Varias Variables – 388 Ejercicios Desarrollo

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  • Autores:

    • UÑA, Isaías
    • SAN MARTÍN, Jesús
    • TOMEO, Venancio

    Páginas: 404

    Coedición: Alfaomega, Garceta

    ISBN: 9786077075325 Categorías: , ,

    Descripción

    Este libro está realizado con el fin de estimular en el estudiante el aprendizaje autónomo del cálculo infinitesimal de varias variables. De acuerdo con las líneas didácticas y metodológicas se ha elaborado un trabajo muy concreto dedicado a establecer y desarrollar los contenidos básicos, tanto conceptuales como operativos, del cálculo pluridimensional.

    Los contenidos de la obra se distribuyen en diez capítulos, cada uno de los capítulos aporta de forma sistemática todos los fundamentos teóricos necesarios. Los resultados no se demuestran, pero se ilustran con ejemplos muy concretos y abundantes con el fin de facilitar la comprensión y operatividad de los conceptos. En la exposición de contenidos, se imita siempre el modelo de una clase presencial interactiva. Se presenta una primera colección de problemas resueltos con todo detalle después de la teoría. Existe otra colección de problemas propuestos, cada uno en paralelo con el problema resuelto correspondiente después de los problemas resueltos.

    Una vez realizado el problema resuelto, el lector tratará de resolver el problema propuesto con el mismo número y tendrá una estimación de su progreso. Si no hay éxito, realizará un nuevo intento antes de consultar la colección detallada que encontrará al final del libro.
    Ventajas Competitivas

    Cada uno de los capítulos consta de:

    • Resumen teórico breve y completo, al principio de cada tema: presenta, de modo sucinto, las definiciones, conceptos y resultados que el lector debe conocer para resolver las cuestiones que se propondrán a continuación.
    • Problemas resueltos que son ejercicios tipo test de respuesta única, seleccionados de forma cuidadosa y resueltos de forma detallada.

    Conozca

    • Los principios de cálculo en varias variables.

    Aprenda

    • Cómo analizar los diferentes niveles de comportamiento de funciones escalares y vectoriales: Límite, continuidad, derivada direccional y diferenciabilidad.
    • Cómo calcular la derivada direccional y la diferencial de una función vectorial.
    • Cómo aplicar la fórmula de Taylor para el cálculo aproximado y el estudio local de una función de varias variables.
    • Cómo determinar elementos de geometría que caracterizan a funciones vectoriales y superficies en el espacio.
    • Cómo calcular integrales dobles sobre dominios regulares usando el cambio de variables adecuado.
    • Cómo extender los resultados del cálculo integral de funciones de una variable a funciones de dos  variables.
    • Cómo reconocer las funciones complejas elementales.
    • Cómo analizar los diferentes niveles de comportamiento de una función compleja de  variable compleja.
    • Cómo reconocer las funciones complejas elementales.
    • Calcular integrales de línea de funciones complejas de variable compleja.

    Conozca

    • Los principios de cálculo en varias variable

    CONTENIDO

    Prologo ´ XI
    1. Funciones de varias variables 1
    1.1. Normas y distancias en R
    n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
    1.2. Conceptos topol´ogicos de R
    n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
    1.3. Funciones de R
    n en R m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
    1.4. L´imites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
    2. Derivacion y diferenciaci ´ on en varias variables ´ 31
    2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
    2.2. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
    2.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
    2.4. Derivadas parciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
    2.5. Funciones diferenciables de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
    2.6. Diferenciaci´on de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
    3. Funciones impl´icitas. Funcion inversa ´ 73
    3.1. Funciones impl´icitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
    3.2. Teorema de la funci´on impl´icita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
    3.3. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
    3.4. Derivaci´on de funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
    3.5. Dependencia funcional y dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
    3.6. Funciones homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
    4. Formula de Taylor ´ 111
    4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
    4.2. Teorema de Taylor con aproximaci´on de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
    4.3. Teorema de Taylor con aproximaci´on de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
    4.4. Teorema de Taylor con aproximaci´on de orden m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
    5. Extremos en varias variables 123
    5.1. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
    5.2. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
    5.3. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
    5.4. M´etodo de los multiplicadores de Lagrange para el c´alculo de extremos condicionados . . 129
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
    6. Integrales de l´inea 161
    6.1. Nociones sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
    6.2. Integrales de trayectoria y de l´inea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
    6.3. Funci´on potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
    6.4. Independencia del camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
    6.5. Funci´on potencial en tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
    6.6. Operadores vectoriales en R
    3
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
    7. Integracion doble ´ 183
    7.1. Integral doble sobre un rect´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
    7.2. Integraci´on doble sobre recintos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
    7.3. Propiedades de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
    7.4. Interpretaci´on geom´etrica de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
    7.5. Otros recursos para el c´alculo de integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
    8. Integracion triple ´ 211
    8.1. Integrales triples sobre ortoedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
    8.2. La integral triple sobre recintos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
    8.3. Cambio de variables en la integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
    8.4. Las simetr´ias en el c´alculo de la integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
    8.5. C´alculo del elemento diferencial de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
    9. Integrales de superficie 237
    9.1. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
    9.2. Integrales de funciones escalares sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
    9.3. Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 ´
    9.4. Integrales de funciones vectoriales sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
    10. Teoremas integrales del calculo vectorial ´ 267
    10.1. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
    10.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
    10.3. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
    VIII • Cálculo de varias variables
    10.4. Teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
    Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
    Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
    A. Soluciones a los Problemas propuestos 285
    A.1. Soluciones al cap´itulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
    A.2. Soluciones al cap´itulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
    A.3. Soluciones al cap´itulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
    A.4. Soluciones al cap´itulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
    A.5. Soluciones al cap´itulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
    A.6. Soluciones al cap´itulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
    A.7. Soluciones al cap´itulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
    A.8. Soluciones al cap´itulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
    A.9. Soluciones al cap´itulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
    A.10.Soluciones al cap´itulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
    Bibliografia 387
    Indice analitico 389

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