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Matemáticas para la Computación 3 ed

$47.600

  • Envío gratis en compras superiores a $80.000
  • Autor: JIMÉNEZ MURILLO , José Alfredo

    Páginas: 576

    Editorial: Alfaomega

    ISBN: 9786076225110 Categoría:

    Descripción

    Matemáticas para la computación, 3ª edición es un libro de texto para los cursos de matemáticas discretas de las carreras del área de la informática, y en éste se exponen los temas: Sistemas numéricos, Métodos de conteo, Conjuntos, Lógica matemática, Álgebra booleana, Relaciones, Grafos, Árboles e Introducción a los lenguajes formales.

    Además de incluir los temas específicos de algoritmo de Booth, problema del palomar, método de Quine y diagramas de Hasse, en esta nueva edición se ha hecho una cuidadosa revisión de todos los ejemplos y problemas propuestos.

    La computación y las matemáticas tienen gran relación entre sí, solamente hay que recordar que las computadoras fueron creadas inicialmente para realizar con mayor rapidez operaciones matemáticas, y la computación no se podría entender sin la participación de las matemáticas. Ramas de las matemáticas como sistemas numéricos, métodos de conteo, conjuntos, matrices, lógica matemática, álgebra boolena, relaciones y funciones, son la base para el diseño de todo lo que se maneja en la computadora.

    La presente obra tiene las bases para que el alumno pueda aumentar su estructura cognoscitiva, al relacionar las matemáticas con la computación. se pretende que el alumno vincule los conocimientos matemáticos con la computación, usando los esquemas de conocimientos con los cuales los alumnos llegan a la licenciatura, con la finalidad de que le de significado al material presentado en los diferentes temas en cada uno de los capítulos, se resuelven problemas representativos e ilustrativos, pero se dejan para que el alumno resuelva otros algunas veces con mayor dificultad e igualmente interesantes, con la finalidad de que el alumno relacione lo aprendido en el aula con el nuevo problema a resolver, lo cual habla de un conocimiento significativo y el aprendizaje basado en competencias.

    Ventajas

    Para entender el contenido del libro no es necesaria una plataforma muy fuerte de matemáticas, ya que se tratan todos los temas con palabras y conceptos que los estudiantes pueden entender, sin olvidar el aspecto formal propio de las matemáticas.

    Además del contenido descrito, este libro cuenta con material Web de apoyo que permitirá reforzar, complementar, y enriquecer los conocimientos del alumno y auxiliar al maestro en su noble tarea.

    Para el alumno los tipos específicos de material Web incluidos son los siguientes:

    • Mapas conceptuales.
    • Simuladores.
    • Lecturas complementarias.

    Para el profesor los tipos de material Web disponibles son los anteriores, además de los siguientes:

    • Presentaciones en PowerPoint.
    • Solución detallada de todos los problemas propuestos.

    Conozca

    • El aspecto formal de la relación matemáticas-computadora, razón por la cual surgen las matemáticas para la computación.

    Aprenda

    • Con facilidad los conocimientos básicos matemáticos necesarios para entender el principio matemático usado en la creación de herramientas computacionales.

    Contenido

    Prefacio XV
    Material web de apoyo XVII
    Plataforma de contenidos interactivos XVII

    Capítulo 1. Sistemas numéricos
    1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
    1.2. Sistema decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
    1.3. Sistemas binario, octal y hexadecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
    1.3.1. Sistema binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
    1.3.2. Sistema octal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
    1.3.3. Sistema hexadecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
    1.4. Generalización de las conversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
    1.5. Operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
    1.5.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
    1.5.2. Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
    1.5.3. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
    1.5.4. División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
    1.6. Suma de dos cantidades en complemento a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
    1.7. Multiplicación de dos cantidades usando el algoritmo de Booth . . . . . . . . . . . . . . . 34
    1.8. Aplicación de los sistemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
    1.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
    1.10. Material Web Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
    1.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    Capítulo 2. Métodos de conteo
    2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
    2.2. Principios fundamentales del conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
    2.2.1. Principio fundamental del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
    2.2.2. Principio fundamental de la adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
    2.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
    2.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
    2.5. Principio del palomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
    2.6. Aplicaciones en el área de la computación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
    2.6.1. Binomio elevado a la potencia n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
    2.6.2. Triángulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
    2.6.3. Sort de la burbuja (bubble sort) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
    2.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
    2.8. Material Web Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
    2.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    Capítulo 3. Conjuntos
    3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
    3.2. Concepto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
    3.3. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
    3.4. Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
    3.5. Operaciones y leyes de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
    3.5.1. Unión (A B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
    3.5.2. Intersección (A B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
    3.5.3. Ley distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
    3.5.4. Complemento (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
    3.5.5. Ley de Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
    3.5.6. Diferencia (A B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
    3.5.7. Diferencia simétrica (A B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
    3.6. Simplificación de expresiones usando leyes de conjuntos . . . . . . . . . . . . . .  120
    3.7. Relación entre teoría de conjuntos, lógica matemática y álgebra booleana . 124
    3.8. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
    3.9. Aplicación de la teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
    3.10. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
    3.11. Material Web Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
    3.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    Capítulo 4. Lógica matemática
    4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
    4.2. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
    4.2.1. Proposiciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
    4.2.2. Proposición condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
    4.2.3. Proposición bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
    4.3. Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
    4.3.1. Tautología, contradicción y contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
    4.3.2. Contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
    4.3.3. Contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
    4.4. Inferencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
    4.5. Equivalencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
    4.6. Demostración formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
    4.6.1. Demostración por el método directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
    4.6.2. Demostración por contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
    4.7. Argumentos válidos y no válidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
    4.7.1. Método de Quine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
    4.7.2. Tipos de argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
    4.8. Predicados y sus valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
    4.9. Inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
    4.10. Aplicación de la lógica matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
    4.11. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
    4.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    Capítulo 5. Álgebra booleana
    5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
    5.2. Expresiones booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
    5.3. Propiedades de las expresiones booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
    5.4. Optimización de expresiones booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
    5.4.1. Simplificación de expresiones booleanas mediante teoremas del álgebra de Boole . 219
    5.4.2. Simplificación de expresiones booleanas usando mapas de Karnaugh . . . . . . . . 222
    5.5. Compuertas lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
    5.6. Aplicaciones del álgebra booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
    5.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
    5.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

    Capítulo 6. Relaciones
    6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
    6.2. Elementos de una relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
    6.2.1. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
    6.2.2. Relación binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
    6.2.3. Matriz de una relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
    6.2.4. Grafo de una relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
    6.3. Tipos de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
    6.3.1. Relación reflexiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
    6.3.2. Relación irreflexiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
    6.3.3. Relación simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
    6.3.4. Relación asimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
    6.3.5. Relación antisimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
    6.3.6. Relación transitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
    6.4. Relaciones de equivalencia, clases de equivalencia y particiones . 272
    6.4.1. Cerraduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
    6.5. Operaciones entre relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
    6.6. Propiedades de las relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
    6.7. Diagramas de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
    6.8. Aplicaciones de las relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
    6.8.1. Una lista enlazada es una relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
    6.8.2. La relaciones en las bases de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
    6.9. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
    6.9.1. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
    6.9.2. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
    6.10. Funciones invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
    6.11. Aplicación de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
    6.12. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
    6.13. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

    Capítulo 7. Grafos
    7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
    7.2. Partes de un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
    7.3. Tipos de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
    7.4. Representación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
    7.5. Caminos y circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
    7.6. Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
    7.7. Grafos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
    7.8. Coloración de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
    7.8.1. Número cromático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
    7.8.2. Características del número cromático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
    7.8.3. Coloración de grafos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
    7.8.4. Polinomio cromático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
    7.9. Aplicaciones de los grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
    7.9.1. Reconocimiento de patrones mediante grafos de similaridad . . . . 363
    7.9.2. Determinación de la ruta más corta mediante grafos ponderados . 366
    7.10. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
    7.11. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

    Capítulo 8. Árboles
    8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
    8.2. Propiedades de los árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
    8.3. Tipos de árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
    8.3.1. Clasificación por número de nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
    8.3.2. Clasificación por altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
    8.4. Bosques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
    8.5. Árboles con pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
    8.6. Árboles generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
    8.6.1. Búsqueda a lo ancho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
    8.6.2. Búsqueda en profundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
    8.6.3. Obtención de árboles generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
    8.6.4. Árbol generador mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
    8.7. Recorrido de un árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
    8.7.1. Recorridos en árboles etiquetados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
    8.8. Búsquedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
    8.8.1. Árboles de búsqueda binarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
    8.9. Aplicación de los árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
    8.10. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
    8.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

    Capítulo 9. Introducción a los lenguajes formales
    9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
    9.2. Gramáticas y lenguajes formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
    9.2.1. Estructuración de las gramáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
    9.2.2. Clasificación de las gramáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
    9.2.3. Representación de las gramáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
    9.3. Autómatas finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
    9.3.1. Terminología básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
    9.3.2. Autómatas finitos determinísticos (AFD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
    9.3.3. Autómatas finitos no determinísticos (AFN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
    9.3.4. Conversión de un AFN a un AFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
    9.4. Máquinas de estado finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
    9.4.1. Equivalencia entre autómatas finitos y máquinas de estados finitos 470
    9.4.2. Máquinas de Turing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
    9.5. Teoría de la computabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
    9.5.1. Teoría de la complejidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
    9.6. Aplicación de los lenguajes formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
    9.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
    9.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
    Respuestas seleccionadas 503
    Índice analítico 553

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