Cálculo en Varias Variables – 388 Ejercicios Desarrollo

Sinopsis del producto

Este libro está realizado con el fin de estimular en el estudiante el aprendizaje autónomo del cálculo infinitesimal de varias variables. De acuerdo con las líneas didácticas y metodológicas se ha elaborado un trabajo muy concreto dedicado a establecer y desarrollar los contenidos básicos, tanto conceptuales como operativos, del cálculo pluridimensional. n nLos contenidos de la obra se distribuyen en diez capítulos, cada uno de los capítulos aporta de forma sistemática todos los fundamentos teóricos necesarios. Los resultados no se demuestran, pero se ilustran con ejemplos muy concretos y abundantes con el fin de facilitar la comprensión y operatividad de los conceptos. En la exposición de contenidos, se imita siempre el modelo de una clase presencial interactiva. Se presenta una primera colección de problemas resueltos con todo detalle después de la teoría. Existe otra colección de problemas propuestos, cada uno en paralelo con el problema resuelto correspondiente después de los problemas resueltos. n nUna vez realizado el problema resuelto, el lector tratará de resolver el problema propuesto con el mismo número y tendrá una estimación de su progreso. Si no hay éxito, realizará un nuevo intento antes de consultar la colección detallada que encontrará al final del libro. nVentajas Competitivas n nCada uno de los capítulos consta de: n

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• Resumen teórico breve y completo, al principio de cada tema: presenta, de modo sucinto, las definiciones, conceptos y resultados que el lector debe conocer para resolver las cuestiones que se propondrán a continuación.
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• Problemas resueltos que son ejercicios tipo test de respuesta única, seleccionados de forma cuidadosa y resueltos de forma detallada.
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nConozca n

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• Los principios de cálculo en varias variables.
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nAprenda n

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• Cómo analizar los diferentes niveles de comportamiento de funciones escalares y vectoriales: Límite, continuidad, derivada direccional y diferenciabilidad.
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• Cómo calcular la derivada direccional y la diferencial de una función vectorial.
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• Cómo aplicar la fórmula de Taylor para el cálculo aproximado y el estudio local de una función de varias variables.
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• Cómo determinar elementos de geometría que caracterizan a funciones vectoriales y superficies en el espacio.
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• Cómo calcular integrales dobles sobre dominios regulares usando el cambio de variables adecuado.
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• Cómo extender los resultados del cálculo integral de funciones de una variable a funciones de dos  variables.
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• Cómo reconocer las funciones complejas elementales.
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• Cómo analizar los diferentes niveles de comportamiento de una función compleja de  variable compleja.
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• Cómo reconocer las funciones complejas elementales.
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• Calcular integrales de línea de funciones complejas de variable compleja.
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nConozca n

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• Los principios de cálculo en varias variable
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nCONTENIDO n nPrologo ´ XI n1. Funciones de varias variables 1 n1.1. Normas y distancias en R nn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 n1.2. Conceptos topol´ogicos de R nn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 n1.3. Funciones de R nn en R m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 n1.4. L´imites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 n2. Derivacion y diferenciaci ´ on en varias variables ´ 31 n2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 n2.2. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 n2.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 n2.4. Derivadas parciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 n2.5. Funciones diferenciables de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 n2.6. Diferenciaci´on de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 n3. Funciones impl´icitas. Funcion inversa ´ 73 n3.1. Funciones impl´icitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 n3.2. Teorema de la funci´on impl´icita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 n3.3. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 n3.4. Derivaci´on de funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 n3.5. Dependencia funcional y dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 n3.6. Funciones homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 n4. Formula de Taylor ´ 111 n4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 n4.2. Teorema de Taylor con aproximaci´on de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 n4.3. Teorema de Taylor con aproximaci´on de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 n4.4. Teorema de Taylor con aproximaci´on de orden m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 n5. Extremos en varias variables 123 n5.1. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 n5.2. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 n5.3. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 n5.4. M´etodo de los multiplicadores de Lagrange para el c´alculo de extremos condicionados . . 129 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 n6. Integrales de l´inea 161 n6.1. Nociones sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 n6.2. Integrales de trayectoria y de l´inea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 n6.3. Funci´on potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 n6.4. Independencia del camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 n6.5. Funci´on potencial en tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 n6.6. Operadores vectoriales en R n3 n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 n7. Integracion doble ´ 183 n7.1. Integral doble sobre un rect´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 n7.2. Integraci´on doble sobre recintos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 n7.3. Propiedades de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 n7.4. Interpretaci´on geom´etrica de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 n7.5. Otros recursos para el c´alculo de integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 n8. Integracion triple ´ 211 n8.1. Integrales triples sobre ortoedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 n8.2. La integral triple sobre recintos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 n8.3. Cambio de variables en la integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 n8.4. Las simetr´ias en el c´alculo de la integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 n8.5. C´alculo del elemento diferencial de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 n9. Integrales de superficie 237 n9.1. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 n9.2. Integrales de funciones escalares sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 n9.3. Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 ´ n9.4. Integrales de funciones vectoriales sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 n10. Teoremas integrales del calculo vectorial ´ 267 n10.1. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 n10.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 n10.3. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 nVIII • Cálculo de varias variables n10.4. Teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 nProblemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 nProblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 nA. Soluciones a los Problemas propuestos 285 nA.1. Soluciones al cap´itulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 nA.2. Soluciones al cap´itulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 nA.3. Soluciones al cap´itulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 nA.4. Soluciones al cap´itulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 nA.5. Soluciones al cap´itulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 nA.6. Soluciones al cap´itulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 nA.7. Soluciones al cap´itulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 nA.8. Soluciones al cap´itulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 nA.9. Soluciones al cap´itulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 nA.10.Soluciones al cap´itulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 nBibliografia 387 nIndice analitico 389

9786077075325

UA JUAREZ, ISAIAS